比较优势原理

发现曼昆的书上对比较优势原理 (Law of Comparative Advantage) 没有形式化的证明，尝试一下看能不能把这个问题说清楚。

二人世界

考虑一个简单的世界，只有俩人，一个牧民和一个农民。他们只生产两种产品，牛肉和土豆。牧民擅长牧牛产出羊肉，也会种点土豆但是产量不高。农民种土豆经验丰富，也会养牛但养的不好。

牧民的时间如果全用来养牛，平均下来每天能产出 2 kg 牛肉，如果全部用来种土豆，每天能产出 1 kg 土豆。农民的时间全部用来养牛，每天只能产出 1 kg 牛肉，但是时间用来种土豆的话每天有 4 kg 的产出。

一开始，俩人互不往来，自己生产的东西只有自己消费。牧民第一年大部分时间用来养牛，只生产很少的土豆，但是发现牛肉吃的有点腻了，第二年决定多花精力来种土豆。假设投入时间和产量成正比，那么牧民多投入一天时间种土豆，土豆产量会增加 1 kg，这一天用来种土豆就没法用来养牛了，所以牛肉产量减少了 2 kg，也就是说，1 kg 土豆的机会成本（opportunity cost）是 2 kg 牛肉。就这样，牧民每年都调整自己的时间分配，最终找到自己最满意的土豆和牛肉产量配比，让土豆和牛肉都不会吃的太腻或者吃的一样腻（此时土豆和牛肉的边际收益相等，称为最佳消费点），并且决定以后都按这个比例去分配时间。农民生产 1 kg 土豆的机会成本是 0.25kg 牛肉，农民同样也找到了自己的最佳消费点。

问题来了

在吃了几年最佳组合的土豆牛肉之后，牧民想出个好主意，去找农民。

牧民：哥们，我想了一个注意！你多生产一点土豆，少生产一点牛肉，我负责多生产牛肉，减少土豆生产。

这样到年底咱们做个交易，保证交易完以后你得到的土豆和牛肉都比现在要多。

农民：真的假的，如果这个交易对我这么有好处，就不可能同时对你也有好处啊。

牧民：我算给你看。。

在牧民和农民生产能力不变的情况下，仅仅靠分工和交换就可以改善各自的境况么？

证明一下

上图斜线表示牧民的生产可能性边界，代表牧民选择牛肉产量时对土豆产量的影响。

为了方便后面分析，先定义变量，牛肉产量为 \(N\) ，土豆产量为 \(T\) ，生产土豆的机会成本为 \(C_T\) ，生产牛肉的机会成本为 \(C_N\) 。下标 \(A\) 代表牧民， \(B\) 代表农民， \(p\) 代表生产点 (produce)， \(c\) 代表消费点 (consume)， \(e\) 代表交易量 (exchange)， \(s\) 代表曲线上最佳消费点 (satisfy)。生产边界曲线上点的坐标为 \((N,T)\)。如果没有发生交易，牧民最终满意的生产点和消费点必定重合。

牧民生产边界曲线的一般形式：

\[ aN+bT=M \]

其中 \(a,b\) 为系数， \(M\) 为常数。该曲线斜率的绝对值即为生产 1 kg 牛肉的机会成本：

\[ C_N = \frac{a}{b} \times\mbox{(1kg土豆)} \]

同样，生产1kg土豆的机会成本为：

\[ C_T = \frac{b}{a} \times\mbox{(1kg牛肉)} \]

	牧民	农民
牛肉生产点	\(N_{Ap}\)	\(N_{Bp}\)
牛肉消费点	\(N_{Ac}\)	\(N_{Bc}\)
土豆生产点	\(T_{Ap}\)	\(T_{Bp}\)
土豆消费点	\(T_{Ac}\)	\(T_{Bc}\)
土豆交易量	\(T_{Ae}\)	\(T_{Be}\)
牛肉交易量	\(N_{Ae}\)	\(N_{Be}\)

牧民或农民交易过后会发生三种情况：

新的消费点依然落在生产边界曲线上（ \(aN_{c}+bT_{c}=M\) ）
新的消费点落在生产边界曲线下侧（ \(aN_{c}+bT_{c} \lt M\) ）
新的消费点落在生产边界曲线上侧（ \(aN_{c}+bT_{c}>M\) ）

3.1 新的消费点在曲线上侧，且两个坐标都大于之前的最佳消费点（ \(N_c>N_s\) , \(T_c>T_s\) ）

3.2 新的消费点在曲线上侧，且 \(N_c>N_s\) , \(T_c \lt T_s\)

3.3 新的消费点在曲线上侧，且 \(N_c \lt N_s\) , \(T_c>T_s\)

逐个分析：

情况1：对牧民来说，收益降低，此时的消费点虽然在生产边界曲线上，但已经偏离了最佳消费点。且曲线上消费点的移动完全可以靠移动生产点解决，没必要进行交易。
情况2：比情况1更糟糕，因为总能找到一个曲线上的消费点，坐标值均大于曲线内的消费点。
情况3：如果牧民和农民均能实现3.1，则交易对双方都有好处，如下图。

所以，单方同意交易的前提是交易之后两种产品的消费量均有增加。对牧民来说即：

\[ \begin{cases} N_{Ap}+N_{e}>N_{As}&(3.a)\\ T_{Ap}-T_{e}>T_{As}&(3.b) \end{cases} \]

式 \((3.a)\) 乘 \(a_A\) 与式 \((3.b)\) 乘 \(b_A\) 求和，得：

\[ a_AN_{Ap}+b_AT_{Ap}+a_AN_{e}-b_AT_{e}>M_A \]

将 \(a_AN_{Ap}+b_AT_{Ap}=M_A\) 带入得：

\[ a_AN_{e}-b_AT_{e}>0 \]

假设交易时，土豆兑换牛肉的比率为 \(k\)，即 \(T_e=kN_e\)，则：

\[ \begin{align} a_AN_{e}-b_A(kN_{e})>0\\ (a_A-b_Ak)N_{e}>0\\ \end{align} \]

得到牧民愿意交易的充分条件：

\[ \mbox{A can exchange only if } \begin{cases} \mbox{}N_e>0,\ k<\frac{a_A}{b_A};\\ \mbox{}N_e<0,\ k>\frac{a_A}{b_A}; \end{cases} (8) \]

农民同意交易的前提与牧民一致，有：

\[ a_B(N_{Bp}-N_{e})+b_B(T_{Bp}+T_{e})>M_B\\\Rightarrow a_BN_{e}-b_BT_{e}<0\\ \]

可得农民愿意交易得充分条件：

\[ \mbox{B can exchange only if } \begin{cases} \mbox{} N_e>0,\ k>\frac{a_B}{b_B};\\ \mbox{} N_e<0,\ k<\frac{a_B}{b_B}; \end{cases} (10) \]

式 \((8)\) 和式 \((10)\) 同时成立时：

\[ \mbox{A and B can make exchange when } \begin{cases} \mbox{} N_e>0,k\in[\frac{a_B}{b_B},\frac{a_A}{b_A}],\frac{a_A}{b_A}>\frac{a_B}{b_B};\\ \mbox{} N_e<0,k\in[\frac{a_A}{b_A},\frac{a_B}{b_B}],\frac{a_A}{b_A}<\frac{a_B}{b_B};\\ \end{cases} (11) \]

由于 \(N_e\) 可任取，则牧民与农民完成交易的条件为：

\[ \frac{a_A}{b_A}\neq\frac{a_B}{b_B} \]

根据上式，只要牧民和农民生产同一产品的机会成本不同，总能达成一种交易，使二者分工生产后再交易是有利可图的。

证毕。

结论分析

由于牧民生产 1 kg 牛肉的机会成本（0.5 kg 土豆）比农民低（4 kg 土豆），有：

\[ \frac{a_A}{b_A}<\frac{a_B}{b_B} \]

根据式 \((11)\)，此时 \(N_e<0\)，代表牧民要想获利，需要用自己的牛肉交换农民的土豆。

这里引入比较优势（comparative advantage）的定义：生产某物品时机会成本较小的生产者，在生产该物品上具有比较优势。

比较优势原理是说，生产某种产品有比较优势的生产者，应该多生产这种产品，并将其用于交换其他产品。

结论推广

比较优势原理有两个推论很反直觉，值得玩味：

在生产者生产能力没有增加的情况下，仅仅依靠分工合作，就可以增进交易双方的收益。
在二人世界例子中，如果牧民时间全部用来种土豆每天能产出5kg土豆，也就是说牧民单位时间用来生产土豆或牛肉的产量都要高于农民，那么此时依然有必要进行交易。是比较优势，而不是绝对优势决定了交易是否有利可图。举个例子，哪怕你是一个落后国家，所有商品的生产力都不如某一个发达国家，但你仍然可以利用生产某一种商品的比较优势与发达国家交易，改善自己的处境。

参考

Mankiw, N. G. 经济学原理: 微观经济学分册. (北京大学出版社, 2012).